eng
Выпуск #6/2012
В.Неволин
Идея Луи де Бройля: пространственная структура квантовых частиц
Идея Луи де Бройля: пространственная структура квантовых частиц
Просмотры: 2748
Показано, что решение квантовых уравнений движения в представлении плотности вероятности дает значения спинов традиционных элементарных частиц с ненулевой массой покоя. Периферийная структура плотности вероятности квантовых частиц определяется их спинами.
Теги: probability density quantum equations of motion spatial structure spin квантовые уравнения движения плотность вероятности пространственная структура спин
На заре создания квантовой механики великий французский физик Луи де Бройль написал не только выражение для волны, носящее его имя и описывающее движение квантовых частиц, но один из первых предложил научному сообществу формулу [1]:
(1)
Смысл формулы заключается в том, что элементарная частица с массой покоя m0 представляет собой "сгусток" энергии, который должен двигаться по законам квантовой механики. Квантовая частица должна "дрожать" с частотой ω. Если это так, вокруг нее должно существовать поле стоячих волн плотности вероятности. Де Бройлю удалось найти волновую электромагнитную аналогию этого явления для электрона [1]. Известно шредингеровское "дрожание" дираковских электронов, связанное с колебаниями центра тяжести частицы, для проявления которого нужно привлечь волны с отрицательной энергией [1]. Если записывать квантовые уравнения с использованием понятия плотности вероятности, можно получить представления о пространственной структуре квантовых частиц.
Для стационарного пространственно ограниченного движения квантовой частицы система уравнений в представлении плотности вероятности имеет вид (2–4):
(2)
где E = m0c2, а ρ = ρ ( r ) – плотность вероятности распределения частицы в пространстве. Введя линейный масштаб задачи – комптоновскую длину волны, равную для электрона r0 = 3,5 ∙ 10-11 см, можно написать:
(3)
Расположив сферическую систему координат в центре масс-частицы и решая это уравнение методом разделения переменных, удается получить систему уравнений:
(4)
(5)
(6)
Уравнение (5) решается подстановкой . Тогда . Чтобы ρϕ была однозначной функцией для константы β, должны выполняться соотношения β = ±1 , ±2 , ±3 ,... . Введя квантовое число соответствующее спину элементарных частиц, удается получить ρϕ = cos2s ϕ и | β | = 2s.
На рис.1 представлены распределения плотности вероятности ρϕ ( ϕ ) при различных значениях спина частиц.
Обратившись к уравнению (6) и разыскивая его решение в виде удается получить соотношения для констант разделения переменных:
На рис.2 показаны зависимости плотности вероятности при различных значениях спинового числа.
Можно видеть, что чем больше спин частицы, тем меньше область распределения плотности вероятности по углу θ.
Обратившись к уравнению (4) и сделав замену переменных и , можно получить уравнение
(7)
Приближенное его решение для радиальной составляющей плотности вероятности записывается в виде суперпозиции асимптотик и , которые обеспечивают равенство второй производной в точке .
(8)
Для частиц с нулевым спином это решение – точное, и в размерных величинах записывается в виде осциллирующей и затухающей функций:
(9)
На рис.3 показано распределение радиальной плотности вероятности частиц с нулевым спином.
Характерный радиус частиц равен
. Для частиц с ненулевым спином решение уравнения (7) является расходящимся при и не интегрируемым по объему частицы. Тогда следует предположить, что частицы с отличным от нуля спином имеют более сложную внутреннюю структуру, например, полость с нулевой плотностью вероятности. По современным представлениям, если существует такая полость, радиус ее должен быть много меньше 10-17 см. На периферии частицы, как и прежде, имеется пространственно структурированное и осциллирующее распределение плотности вероятности. Характерный радиус частиц с отличным от нуля спином можно оценить по формуле:
(10)
Таким образом, периферийная пространственная структура плотности вероятности традиционных элементарных частиц с отличной от нуля массой зависит от их спинового числа и имеет радиальную область "дрожания". Характерный радиус частиц можно оценить по формуле (10), причем в этой модели электрон является "пухлой" частицей rе = 1,4 ∙ 10-10 см по сравнению с протоном rp = 7,4 ∙ 10-14 см.
Литература
Де Бройль Луи. Избранные научные труды. Т.1. Становление квантовой механики. – М.: Логос. 2010.
Ghosh S.K., Deb B.M. Densities, Density-Functional and Electron Fluids. – Physics Reports (Review Section of Physics Letters), 1982, v.92, №1, р.1–44.
Алексеев Б.В., Абакумов А.И. Об одном подходе к решению уравнения Шредингера. / Доклады Академии наук СССР, 1982, т.262, с.1100–1102.
Неволин В.К. Квантовый транспорт в устройствах электроники. – М.: Техносфера, 2012.
(1)
Смысл формулы заключается в том, что элементарная частица с массой покоя m0 представляет собой "сгусток" энергии, который должен двигаться по законам квантовой механики. Квантовая частица должна "дрожать" с частотой ω. Если это так, вокруг нее должно существовать поле стоячих волн плотности вероятности. Де Бройлю удалось найти волновую электромагнитную аналогию этого явления для электрона [1]. Известно шредингеровское "дрожание" дираковских электронов, связанное с колебаниями центра тяжести частицы, для проявления которого нужно привлечь волны с отрицательной энергией [1]. Если записывать квантовые уравнения с использованием понятия плотности вероятности, можно получить представления о пространственной структуре квантовых частиц.
Для стационарного пространственно ограниченного движения квантовой частицы система уравнений в представлении плотности вероятности имеет вид (2–4):
(2)
где E = m0c2, а ρ = ρ ( r ) – плотность вероятности распределения частицы в пространстве. Введя линейный масштаб задачи – комптоновскую длину волны, равную для электрона r0 = 3,5 ∙ 10-11 см, можно написать:
(3)
Расположив сферическую систему координат в центре масс-частицы и решая это уравнение методом разделения переменных, удается получить систему уравнений:
(4)
(5)
(6)
Уравнение (5) решается подстановкой . Тогда . Чтобы ρϕ была однозначной функцией для константы β, должны выполняться соотношения β = ±1 , ±2 , ±3 ,... . Введя квантовое число соответствующее спину элементарных частиц, удается получить ρϕ = cos2s ϕ и | β | = 2s.
На рис.1 представлены распределения плотности вероятности ρϕ ( ϕ ) при различных значениях спина частиц.
Обратившись к уравнению (6) и разыскивая его решение в виде удается получить соотношения для констант разделения переменных:
На рис.2 показаны зависимости плотности вероятности при различных значениях спинового числа.
Можно видеть, что чем больше спин частицы, тем меньше область распределения плотности вероятности по углу θ.
Обратившись к уравнению (4) и сделав замену переменных и , можно получить уравнение
(7)
Приближенное его решение для радиальной составляющей плотности вероятности записывается в виде суперпозиции асимптотик и , которые обеспечивают равенство второй производной в точке .
(8)
Для частиц с нулевым спином это решение – точное, и в размерных величинах записывается в виде осциллирующей и затухающей функций:
(9)
На рис.3 показано распределение радиальной плотности вероятности частиц с нулевым спином.
Характерный радиус частиц равен
. Для частиц с ненулевым спином решение уравнения (7) является расходящимся при и не интегрируемым по объему частицы. Тогда следует предположить, что частицы с отличным от нуля спином имеют более сложную внутреннюю структуру, например, полость с нулевой плотностью вероятности. По современным представлениям, если существует такая полость, радиус ее должен быть много меньше 10-17 см. На периферии частицы, как и прежде, имеется пространственно структурированное и осциллирующее распределение плотности вероятности. Характерный радиус частиц с отличным от нуля спином можно оценить по формуле:
(10)
Таким образом, периферийная пространственная структура плотности вероятности традиционных элементарных частиц с отличной от нуля массой зависит от их спинового числа и имеет радиальную область "дрожания". Характерный радиус частиц можно оценить по формуле (10), причем в этой модели электрон является "пухлой" частицей rе = 1,4 ∙ 10-10 см по сравнению с протоном rp = 7,4 ∙ 10-14 см.
Литература
Де Бройль Луи. Избранные научные труды. Т.1. Становление квантовой механики. – М.: Логос. 2010.
Ghosh S.K., Deb B.M. Densities, Density-Functional and Electron Fluids. – Physics Reports (Review Section of Physics Letters), 1982, v.92, №1, р.1–44.
Алексеев Б.В., Абакумов А.И. Об одном подходе к решению уравнения Шредингера. / Доклады Академии наук СССР, 1982, т.262, с.1100–1102.
Неволин В.К. Квантовый транспорт в устройствах электроники. – М.: Техносфера, 2012.
Отзывы читателей
