eng
Выпуск #7-8/2018
О.Познанский
Динамическая диффузия в бинарных композитах, измеренная с помощью ЯМР
Динамическая диффузия в бинарных композитах, измеренная с помощью ЯМР
Просмотры: 2755
Самодиффузия молекул воды, измеренных с помощью ЯМР, позволяет исследовать гетерогенное вещество неинвазивно. Обнаружение структурных свойств по данным ЯМР – сложная обратная задача, учитывающая вариативность форм, размеров и концентраций компонентов вещества. Разработан численный метод, обеспечивший понимание механизма образования диффузионного контраста сигнала ЯМР, связанного с иерархией компонентов вещества и временным спектром диффузии. Разработана модель вещества с самоподобной случайной структурой. Эффективный динамический спектр диффузии зависит от диапазона геометрии формы, размеров и концентраций неупорядоченных компонент вещества.
DOI: 10.22184/1993-8578.2018.11.7-8.510.518
DOI: 10.22184/1993-8578.2018.11.7-8.510.518
Теги: continues fractions nuclear magnetic resonance renormalization group theory ядерный магнитный резонанс signal attenuation temporal diffusion velocity autocorrelation автокорреляционная функция скоростей временная диффузия затухание сигнала непрерывная дробь ренормализационная группа
ВВЕДЕНИЕ
С момента внедрения диффузионно-взвешенного ядерного магнитного резонанса (ЯМР) он стал популярным маркером для обнаружения тонких различий между композитами и характеризуется важным применением в классификации материалов и предсказанием их физических свойств [1]. ЯМР-данные из обычных экспериментов с импульсным градиентом спинового эха (ИГСЭ) обычно дают определить среднюю диффузию, отражающую упаковку и размер компонентов гетерогенных структур композита [2]. Интерпретация данных ЯМР должна учитывать ряд эффектов, связанных с микроскопической иерархией масштабов длин неоднородностей. Эти эффекты напрямую зависят от подвижности молекул воды, а также от размеров и формы неоднородностей, от их ориентации и дисперсии в пространстве.
Оптимизация получения экспериментальных данных к корреляциям между несколькими параметрами является одним из способов достижения более богатого информационного содержания выборки и может быть одним из способов дальнейшего улучшения специфичности детектирования отдельных компонентов сигнала. Зависимость параметров случайных гетерогенных материалов обычно характеризуется различными нелинейностями, особенно в окрестности порога перколяции [3]. Ряд классических моделей теории перколяции основан на сетях со случайным импедансом (рис.1а), которые широко применяются для изучения транспортных свойств и релаксаций в неупорядоченных композитах. Такие модели демонстрируют наличие структурного перехода [4] и обладают иерархическими свойствами распределений магнитного поля (рис.1b).
В данной роботе мы предлагаем применить теорию ренормализационной группы в сочетании с методом непрерывных дробей для обобщенного описания временной диффузии в случайных композитах, которые широко используются в качестве решеточной модели физических свойств в неупорядоченных материалах [4, 5].
ДИФФУЗИОННО-ВЗВЕШЕННОЕ ЗАТУХАНИЕ СИГНАЛА И ФОРМА ГРАДИЕНТА МАГНИТНОГО ПОЛЯ
В градиенте магнитного поля G(t) случайное и зависящее от времени положение частиц модулирует спиновую фазу. Как следствие, затухание спинового эха (SE), E(t) включает корреляцию между скоростями частиц [1, 6] и приводит к экспоненциальному затуханию:
E(t) = e– α(t), (1)
если предположить гауссовское приближение спиновой фазовой модуляции. Коэффициент затухания α(t) в уравнении (1) задается как
form_all_rus.ai, (2)
где form_all_rus.ai, и form_all_rus.aiявляется автокорреляционной функцией скоростей частиц после Фурье-преобразования. Представляя градиенты магнитного поля в частотной области, то есть form_all_rus.ai, можно получить затухание в виде:
form_all_rus.ai, (3)
и спектром градиента form_all_rus.ai.
Обычная последовательность импульсов спинового эха имеет изменяющиеся во времени градиенты магнитного поля G(t), амплитуды g и ширины δ, разделенных временем Δ (рис.1d). Спины возбуждаются 90°-ным радиочастотным (RF) импульсом магнитного поля, инвертируются 180°-ным RF импульсом магнитного поля и характеризуются противоположной фазой |k| после рефокусировки. Спектр градиента в этом случае задан как [6]
form_all_rus.ai. (4)
Автокорреляционная функция скоростей (динамическая диффузия) общего вида может моделироваться функцией
form_all_rus.ai, (5a)
которая в пределе ω → ∞ соответствует статическому случаю
form_all_rus.ai. (5b)
Например, если мы скомбинируем (4) с (3) и предположим статическую диффузию (5b), тогда можно получить классический результат Стежскала – Таннера [6]:
form_all_rus.ai. (6)
В пределе Δ >> δ и временами корреляции τc, значительно меньшими времени затухания, уравнение (6) принимает вид
form_all_rus.ai. (7)
ИЕРАРХИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СЛУЧАЙНОГО КОМПОЗИТА
Предположим, что существует баланс всех потоков в любой точке композита. Тогда дискретная версия закона сохранения может быть представлена как:
form_all_rus.ai, (8)
если ψ1 есть концентрация частиц на решеточном узле l. Распределение локальных свойств D(lm) в (8) определяется бинарной функцией:
form_all_rus.ai, (9)
где индикатор δ (lm) = {0,1} задает множество E всех возможных решеточных конфигураций бинарной функции. Используя (8) мы отобразим композит на решетку S внутренних и SГ контактных границе Г узлов. Каждая связь этой решетки ограничена ближайшими соседними узлами (lm). Связь может принадлежать фазе (1) или (2) с вероятностями p и q, удовлетворяя p + q = 1 и характеризуясь диффузиями D(1) и D(2) соответственно. Граничное условие Дирихле в уравнении (8) соответствует Ψm|Г+ = 0 и Ψm|Г– = 1 на левой Г+ и правой Г– сторонах решетки. Используя (8) и граничные условия можно оценить эквивалентную диффузию,form_all_rus.ai, усредненную для всех реализаций уравнения (9) на решетке.
Мы будем моделировать глобальные (или эффективные) свойства композита со случайно распределенными локальными свойствами в соответствии с методом реальной ренормализационной группы [9]. Бинарная функция (9) в этом случае является итерационным преобразованием, зависящим от индекса n. Таким образом, самоподобная рекурсия для уравнения (9) определяется как
form_10_rus.ai, (10)
где функция эквивалентной диффузии разделяется на компоненты (k) = {(1), (2)} в зависимости от связности конфигураций на множестве E.
Преобразование p в (10) соответствует функции связности R(p) и может быть выражена уравнениями многочлена
form_11_rus.ai, (11)
характеризующимися неустойчивыми точками p* = {0,52D, 0,213D} (рис.1c). Количество итераций для построения иерархической решетки определяется ограничением |pn – pn + 1 | ≤ ε, где ε > 0 бесконечно малое число. Из-за этого условия диффузионные составляющие композита неотличимы после многомасштабного иерархического усреднения, приводящего к сближению двоичных свойств к одинарным с эффективными свойствами, соответствующими компоненте (1) или (2) в зависимости от выбора начальной вероятности p0 на первом шаге итерации n = 0.
Отметим, что усредненную эквивалентную диффузию можно разделить в зависимости от связности реализаций в множестве E на каждом шаге итерации. Передача диффузии из n на n + 1 итерационный уровень может быть проведена в соответствии с правилами непрерывной дроби:
form_all_rus.ai (12)
(обозначение Прингсхайма [10]), если p0 < p*.
РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПЕРЕНОРМИРОВКИ ДИФФУЗИОННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
Мы провели численные расчеты нашей иерархической модели для 2D- и 3D-случаев в соответствии с уравнениями (8–11). Диффузия компонентов (1) и (2) распределялась на перенормируемой Н-ячейке, составляя все возможные конфигурации. В наших тестах были использованы отношения начальных значений статической диффузии и времени корреляции, такие как D(1) / D(2) = 103 и τc(1) / τc(2) = 10–1 (табл.1). Извлекая частотно-зависимую динамическую часть автокорреляционной функции скорости, согласно уравнению (5а), мы можем проверить нашу итерационную процедуру в пределах p → 0 и p → 1, соответствующих идеальным решеткам с низкой или высокой диффузией соответственно (рис.2a,b) для 2D- и 3D-случаев. В логарифмической шкале, log10(D(ω)) ↔ log10(ω), диффузия линейно возрастает при низкочастотном режиме и приближается к стационарному состоянию в высокочастотном режиме. Переход в установившееся состояние зависит от времени корреляции и отличается для компонентов (1), (2) при p → 0 и p → 1. С увеличением концентрации p компоненты (1) (p > 0 и p < p*) вариативность конфигураций дает больший вклад, и, как следствие, эффективная диффузия почти линейно возрастает в полулогарифмическом масштабе, log10(D(ω)) ↔ p. Значительный нелинейный скачок эффективной диффузии наблюдается вблизи нестабильной точки p* и высокочастотного предела, ω → ∞.
С другой стороны, поведение эффективной диффузии изменяется от возрастающей к уменьшающейся вблизи неустойчивой точки p* и низкочастотного предела, ω → 0. Как только p → 0, эффективная диффузия линейно возрастает как в низких, так и в высоких частотных пределах. Поведение диффузии аналогично для 2D- и 3D-случаев, за исключением точки p*, которая зависит от Евклидова пространства. Поскольку эффективная диффузия рассчитана по правилам непрерывной дроби (уравнение (12)) при p0 < p*, мы наблюдаем нецелый показатель в степенном законе в интервале log10(ω) = (–1,5, –1), то есть D (ω) ~ ω1,2 (вставка на рис.2c). В пределе низких и высоких частот показатель приближается к 2, то есть D (ω) ~ ω2, и 0, то есть D (ω) ~ ω0, что представлено в соответствующем уравнении (5) (вставка на рис.2c). Первая, d(log10(D(ω))) / d(log10(ω)), и вторая, d2(log10(D(ω))) / d(log10(ω))2, производные от динамической диффузии в логарифмическом масштабе позволяют количественно оценить переход между различными степенными законами при p → 0 (рис.2c). В нашем моделировании он независим от Евклидова пространства. Нецелый показатель степенного закона динамической диффузии отсутствует, если p → 1 (рис.2d).
Мы можем выполнить обратное преобразование Фурье частотно-зависимой диффузии и исследовать временную зависимость диффузионного затухания в предположении уравнения (7). На рис.3a,b показана зависимость коэффициента диффузии по времени в 2D и 3D, соответственно, в полулогарифмическом масштабе, log (D(t)) ↔ t. В случае p → 0, диффузия почти не зависит от времени. Это может быть объяснено доминированием компоненты (2), характеризующейся низкой статической диффузией и большим временем корреляции (табл.1). Небольшая нелинейность количественно определяется первой производной диффузии (рис.3c). Увеличение концентрации компоненты (1) приводит к линейному увеличению диффузии во всем диапазоне временного интервала. Такое же поведение наблюдается и в случае p → 1. Вблизи неустойчивой точки p* диффузия нелинейно возрастает, если t → 0. В противоположной ситуации, когда t → ∞, диффузия приближается к максимуму и затем спадает. Если p → 1 диффузия является линейно зависимой, которая может быть легко обнаружена из-за большого значения статической диффузии компоненты (1) и небольшого времени корреляции (табл.1). Качественно зависящая от времени диффузия аналогична в 2D и 3D, за исключением поведения вблизи p*.
ОБСУЖДЕНИЕ И ВЫВОДЫ
В этой статье мы разработали метод эффективной среды для коэффициента диффузионного взвешенного сигнала, измеренного с помощью ЯМР. Мы представили дисперсионные характеристики диффузии, которые включают разнообразные свойства гетерогенного случайного композита. На основе численного моделирования мы продемонстрировали результаты метода перенормировки в реальном пространстве в сочетании со свойствами цепной дроби при описании гетерогенной диффузии. Полученные частотные и временные особенности коэффициента диффузии демонстрируют в общем случае форму показательного закона. Эта форма качественно отличается для разных концентраций составных компонентов. Кроме того, мы показали, что соответствующими параметрами композита являются дисперсия локальной диффузии, а также иерархические масштабы распределения неоднородностей пространственной диффузии.
ЛИТЕРАТУРА/REFERENCES
Abraham A. Principles of Nuclear Magnetism, Oxford University Press, 2002.
Posnansky O. Effective diffusion in random composites measured by NMR, Journal of magnetism and magnetic materials 466 (2018) 92.
Stanley H.E. Introductions to Phase Transitions and Critical Phenomena, Oxford University Press, 1971.
Posnansky O. On the influence of microscopic architecture elements to the global viscoelastic properties of soft biological tissue, Physica D 289 (2014) 1.
Posnansky O., Guo J., Hirsch S., Papazoglou S., Braun J., Sack I. Fractal network dimension and viscoelastic powerlaw behavior: I. A modeling approach based on a coarse-graining procedure combined with shear oscillatory rheometry, Phys. Med. Biol., 57 (12) (2012) 4023.
Callaghan P. Principles of Nuclear Magnetic Resonance Microscopy, Oxford University Press, 1994.
Posnansky O. Viscoelastic properties of a hierarchical model of soft biological tissue: two-dimensional and three-dimensional cases, Journ. Stat. Phys., 164 (5) (2016) 1043.
Posnansky O. Dynamic characteristics of the effective susceptibility function in random three-component system, Physica A: Stat. Mech. and its Applications 473 (2017) 18.
Posnansky O. Tensor of effective susceptibility in random magnetic composites: application to two-dimensional and three-dimensional cases, Journal of molecular structure, 1160 (2018), 293.
https://en.wikipedia.org/wiki/Continued_fraction
С момента внедрения диффузионно-взвешенного ядерного магнитного резонанса (ЯМР) он стал популярным маркером для обнаружения тонких различий между композитами и характеризуется важным применением в классификации материалов и предсказанием их физических свойств [1]. ЯМР-данные из обычных экспериментов с импульсным градиентом спинового эха (ИГСЭ) обычно дают определить среднюю диффузию, отражающую упаковку и размер компонентов гетерогенных структур композита [2]. Интерпретация данных ЯМР должна учитывать ряд эффектов, связанных с микроскопической иерархией масштабов длин неоднородностей. Эти эффекты напрямую зависят от подвижности молекул воды, а также от размеров и формы неоднородностей, от их ориентации и дисперсии в пространстве.
Оптимизация получения экспериментальных данных к корреляциям между несколькими параметрами является одним из способов достижения более богатого информационного содержания выборки и может быть одним из способов дальнейшего улучшения специфичности детектирования отдельных компонентов сигнала. Зависимость параметров случайных гетерогенных материалов обычно характеризуется различными нелинейностями, особенно в окрестности порога перколяции [3]. Ряд классических моделей теории перколяции основан на сетях со случайным импедансом (рис.1а), которые широко применяются для изучения транспортных свойств и релаксаций в неупорядоченных композитах. Такие модели демонстрируют наличие структурного перехода [4] и обладают иерархическими свойствами распределений магнитного поля (рис.1b).
В данной роботе мы предлагаем применить теорию ренормализационной группы в сочетании с методом непрерывных дробей для обобщенного описания временной диффузии в случайных композитах, которые широко используются в качестве решеточной модели физических свойств в неупорядоченных материалах [4, 5].
ДИФФУЗИОННО-ВЗВЕШЕННОЕ ЗАТУХАНИЕ СИГНАЛА И ФОРМА ГРАДИЕНТА МАГНИТНОГО ПОЛЯ
В градиенте магнитного поля G(t) случайное и зависящее от времени положение частиц модулирует спиновую фазу. Как следствие, затухание спинового эха (SE), E(t) включает корреляцию между скоростями частиц [1, 6] и приводит к экспоненциальному затуханию:
E(t) = e– α(t), (1)
если предположить гауссовское приближение спиновой фазовой модуляции. Коэффициент затухания α(t) в уравнении (1) задается как
form_all_rus.ai, (2)
где form_all_rus.ai, и form_all_rus.aiявляется автокорреляционной функцией скоростей частиц после Фурье-преобразования. Представляя градиенты магнитного поля в частотной области, то есть form_all_rus.ai, можно получить затухание в виде:
form_all_rus.ai, (3)
и спектром градиента form_all_rus.ai.
Обычная последовательность импульсов спинового эха имеет изменяющиеся во времени градиенты магнитного поля G(t), амплитуды g и ширины δ, разделенных временем Δ (рис.1d). Спины возбуждаются 90°-ным радиочастотным (RF) импульсом магнитного поля, инвертируются 180°-ным RF импульсом магнитного поля и характеризуются противоположной фазой |k| после рефокусировки. Спектр градиента в этом случае задан как [6]
form_all_rus.ai. (4)
Автокорреляционная функция скоростей (динамическая диффузия) общего вида может моделироваться функцией
form_all_rus.ai, (5a)
которая в пределе ω → ∞ соответствует статическому случаю
form_all_rus.ai. (5b)
Например, если мы скомбинируем (4) с (3) и предположим статическую диффузию (5b), тогда можно получить классический результат Стежскала – Таннера [6]:
form_all_rus.ai. (6)
В пределе Δ >> δ и временами корреляции τc, значительно меньшими времени затухания, уравнение (6) принимает вид
form_all_rus.ai. (7)
ИЕРАРХИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СЛУЧАЙНОГО КОМПОЗИТА
Предположим, что существует баланс всех потоков в любой точке композита. Тогда дискретная версия закона сохранения может быть представлена как:
form_all_rus.ai, (8)
если ψ1 есть концентрация частиц на решеточном узле l. Распределение локальных свойств D(lm) в (8) определяется бинарной функцией:
form_all_rus.ai, (9)
где индикатор δ (lm) = {0,1} задает множество E всех возможных решеточных конфигураций бинарной функции. Используя (8) мы отобразим композит на решетку S внутренних и SГ контактных границе Г узлов. Каждая связь этой решетки ограничена ближайшими соседними узлами (lm). Связь может принадлежать фазе (1) или (2) с вероятностями p и q, удовлетворяя p + q = 1 и характеризуясь диффузиями D(1) и D(2) соответственно. Граничное условие Дирихле в уравнении (8) соответствует Ψm|Г+ = 0 и Ψm|Г– = 1 на левой Г+ и правой Г– сторонах решетки. Используя (8) и граничные условия можно оценить эквивалентную диффузию,form_all_rus.ai, усредненную для всех реализаций уравнения (9) на решетке.
Мы будем моделировать глобальные (или эффективные) свойства композита со случайно распределенными локальными свойствами в соответствии с методом реальной ренормализационной группы [9]. Бинарная функция (9) в этом случае является итерационным преобразованием, зависящим от индекса n. Таким образом, самоподобная рекурсия для уравнения (9) определяется как
form_10_rus.ai, (10)
где функция эквивалентной диффузии разделяется на компоненты (k) = {(1), (2)} в зависимости от связности конфигураций на множестве E.
Преобразование p в (10) соответствует функции связности R(p) и может быть выражена уравнениями многочлена
form_11_rus.ai, (11)
характеризующимися неустойчивыми точками p* = {0,52D, 0,213D} (рис.1c). Количество итераций для построения иерархической решетки определяется ограничением |pn – pn + 1 | ≤ ε, где ε > 0 бесконечно малое число. Из-за этого условия диффузионные составляющие композита неотличимы после многомасштабного иерархического усреднения, приводящего к сближению двоичных свойств к одинарным с эффективными свойствами, соответствующими компоненте (1) или (2) в зависимости от выбора начальной вероятности p0 на первом шаге итерации n = 0.
Отметим, что усредненную эквивалентную диффузию можно разделить в зависимости от связности реализаций в множестве E на каждом шаге итерации. Передача диффузии из n на n + 1 итерационный уровень может быть проведена в соответствии с правилами непрерывной дроби:
form_all_rus.ai (12)
(обозначение Прингсхайма [10]), если p0 < p*.
РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПЕРЕНОРМИРОВКИ ДИФФУЗИОННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
Мы провели численные расчеты нашей иерархической модели для 2D- и 3D-случаев в соответствии с уравнениями (8–11). Диффузия компонентов (1) и (2) распределялась на перенормируемой Н-ячейке, составляя все возможные конфигурации. В наших тестах были использованы отношения начальных значений статической диффузии и времени корреляции, такие как D(1) / D(2) = 103 и τc(1) / τc(2) = 10–1 (табл.1). Извлекая частотно-зависимую динамическую часть автокорреляционной функции скорости, согласно уравнению (5а), мы можем проверить нашу итерационную процедуру в пределах p → 0 и p → 1, соответствующих идеальным решеткам с низкой или высокой диффузией соответственно (рис.2a,b) для 2D- и 3D-случаев. В логарифмической шкале, log10(D(ω)) ↔ log10(ω), диффузия линейно возрастает при низкочастотном режиме и приближается к стационарному состоянию в высокочастотном режиме. Переход в установившееся состояние зависит от времени корреляции и отличается для компонентов (1), (2) при p → 0 и p → 1. С увеличением концентрации p компоненты (1) (p > 0 и p < p*) вариативность конфигураций дает больший вклад, и, как следствие, эффективная диффузия почти линейно возрастает в полулогарифмическом масштабе, log10(D(ω)) ↔ p. Значительный нелинейный скачок эффективной диффузии наблюдается вблизи нестабильной точки p* и высокочастотного предела, ω → ∞.
С другой стороны, поведение эффективной диффузии изменяется от возрастающей к уменьшающейся вблизи неустойчивой точки p* и низкочастотного предела, ω → 0. Как только p → 0, эффективная диффузия линейно возрастает как в низких, так и в высоких частотных пределах. Поведение диффузии аналогично для 2D- и 3D-случаев, за исключением точки p*, которая зависит от Евклидова пространства. Поскольку эффективная диффузия рассчитана по правилам непрерывной дроби (уравнение (12)) при p0 < p*, мы наблюдаем нецелый показатель в степенном законе в интервале log10(ω) = (–1,5, –1), то есть D (ω) ~ ω1,2 (вставка на рис.2c). В пределе низких и высоких частот показатель приближается к 2, то есть D (ω) ~ ω2, и 0, то есть D (ω) ~ ω0, что представлено в соответствующем уравнении (5) (вставка на рис.2c). Первая, d(log10(D(ω))) / d(log10(ω)), и вторая, d2(log10(D(ω))) / d(log10(ω))2, производные от динамической диффузии в логарифмическом масштабе позволяют количественно оценить переход между различными степенными законами при p → 0 (рис.2c). В нашем моделировании он независим от Евклидова пространства. Нецелый показатель степенного закона динамической диффузии отсутствует, если p → 1 (рис.2d).
Мы можем выполнить обратное преобразование Фурье частотно-зависимой диффузии и исследовать временную зависимость диффузионного затухания в предположении уравнения (7). На рис.3a,b показана зависимость коэффициента диффузии по времени в 2D и 3D, соответственно, в полулогарифмическом масштабе, log (D(t)) ↔ t. В случае p → 0, диффузия почти не зависит от времени. Это может быть объяснено доминированием компоненты (2), характеризующейся низкой статической диффузией и большим временем корреляции (табл.1). Небольшая нелинейность количественно определяется первой производной диффузии (рис.3c). Увеличение концентрации компоненты (1) приводит к линейному увеличению диффузии во всем диапазоне временного интервала. Такое же поведение наблюдается и в случае p → 1. Вблизи неустойчивой точки p* диффузия нелинейно возрастает, если t → 0. В противоположной ситуации, когда t → ∞, диффузия приближается к максимуму и затем спадает. Если p → 1 диффузия является линейно зависимой, которая может быть легко обнаружена из-за большого значения статической диффузии компоненты (1) и небольшого времени корреляции (табл.1). Качественно зависящая от времени диффузия аналогична в 2D и 3D, за исключением поведения вблизи p*.
ОБСУЖДЕНИЕ И ВЫВОДЫ
В этой статье мы разработали метод эффективной среды для коэффициента диффузионного взвешенного сигнала, измеренного с помощью ЯМР. Мы представили дисперсионные характеристики диффузии, которые включают разнообразные свойства гетерогенного случайного композита. На основе численного моделирования мы продемонстрировали результаты метода перенормировки в реальном пространстве в сочетании со свойствами цепной дроби при описании гетерогенной диффузии. Полученные частотные и временные особенности коэффициента диффузии демонстрируют в общем случае форму показательного закона. Эта форма качественно отличается для разных концентраций составных компонентов. Кроме того, мы показали, что соответствующими параметрами композита являются дисперсия локальной диффузии, а также иерархические масштабы распределения неоднородностей пространственной диффузии.
ЛИТЕРАТУРА/REFERENCES
Abraham A. Principles of Nuclear Magnetism, Oxford University Press, 2002.
Posnansky O. Effective diffusion in random composites measured by NMR, Journal of magnetism and magnetic materials 466 (2018) 92.
Stanley H.E. Introductions to Phase Transitions and Critical Phenomena, Oxford University Press, 1971.
Posnansky O. On the influence of microscopic architecture elements to the global viscoelastic properties of soft biological tissue, Physica D 289 (2014) 1.
Posnansky O., Guo J., Hirsch S., Papazoglou S., Braun J., Sack I. Fractal network dimension and viscoelastic powerlaw behavior: I. A modeling approach based on a coarse-graining procedure combined with shear oscillatory rheometry, Phys. Med. Biol., 57 (12) (2012) 4023.
Callaghan P. Principles of Nuclear Magnetic Resonance Microscopy, Oxford University Press, 1994.
Posnansky O. Viscoelastic properties of a hierarchical model of soft biological tissue: two-dimensional and three-dimensional cases, Journ. Stat. Phys., 164 (5) (2016) 1043.
Posnansky O. Dynamic characteristics of the effective susceptibility function in random three-component system, Physica A: Stat. Mech. and its Applications 473 (2017) 18.
Posnansky O. Tensor of effective susceptibility in random magnetic composites: application to two-dimensional and three-dimensional cases, Journal of molecular structure, 1160 (2018), 293.
https://en.wikipedia.org/wiki/Continued_fraction
Отзывы читателей
