eng
Выпуск #3-4/2020
О.П.Познанский
Исследование влияния плотности упаковки аксонов на диффузию
Исследование влияния плотности упаковки аксонов на диффузию
Просмотры: 2173
DOI: 10.22184/1993-8578.2020.13.3-4.180.186
Диффузионно-взвешенная МРТ чувствительна к архитектуре биологической ткани на микрометровом масштабе. Исследование конкретных механизмов, лежащих в основе изменений в DW-MRI, может привести к введению новых диффузных контрастов, специфичных для конкретных процессов дегенерации белого вещества мозга. Мы разработали метод ренормализационной группы для изучения влияния большого диапазона микропараметров на коэффициент диффузии и применили его к различным видам тесселяций биологической ткани. Наш подход учитывает влияние беспорядка и позволяет количественно исследовать чувствительность коэффициента диффузии к изменениям доминирующего набора микропараметров.
Диффузионно-взвешенная МРТ чувствительна к архитектуре биологической ткани на микрометровом масштабе. Исследование конкретных механизмов, лежащих в основе изменений в DW-MRI, может привести к введению новых диффузных контрастов, специфичных для конкретных процессов дегенерации белого вещества мозга. Мы разработали метод ренормализационной группы для изучения влияния большого диапазона микропараметров на коэффициент диффузии и применили его к различным видам тесселяций биологической ткани. Наш подход учитывает влияние беспорядка и позволяет количественно исследовать чувствительность коэффициента диффузии к изменениям доминирующего набора микропараметров.
Теги: diffusion magnetic resonance imaging packing density renormalization group method tessellations диффузия магнитная резонансная томография метод ренормализационной группы плотность упаковки разбиения
ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ПЛОТНОСТИ УПАКОВКИ АКСОНОВ НА ДИФФУЗИЮ
INVESTIGATION OF INFLUENCE OF PACKING DENSITY OF AXONS ON DIFFUSIVITY
О.П.Познанский1, 2, к.ф.-м.н., (ORCID: 0000-0003-3279-0337) / opoznans@gmail.com
O.P.Posnansky1, 2, Cand. of Sc. (Physics and Mathematics) 1, 2
DOI: 10.22184/1993-8578.2020.13.3-4.180.186
Получено: 08.06.2020 г.
Диффузионно-взвешенная МРТ (ДВ-МРТ) чувствительна к архитектуре биологической ткани на микрометровом масштабе. Исследование конкретных механизмов, лежащих в основе изменений в DW-MRI, может привести к введению новых диффузных контрастов, специфичных для конкретных процессов дегенерации белого вещества мозга. Мы разработали метод ренормализационной группы для изучения влияния большого диапазона микропараметров на коэффициент диффузии и применили его к различным видам тесселяций биологической ткани. Наш подход учитывает влияние беспорядка и позволяет количественно исследовать чувствительность коэффициента диффузии к изменениям доминирующего набора микропараметров.
Diffusion-weighted MRI (DW-MRI) is sensitive to biological tissue architecture on a micrometer scale. Determining whether it is possible to infer the specific mechanisms that underlie changes in DW-MRI could lead to new diffusion contrasts specific to particular brain white-matter degeneration processes. We have developed a renormalization group method in order to explore the effects of a large range of microparameters on apparent diffusion and have applied it to different kinds of biological tissue tessellations. Our approach takes the influence of disorder into the consideration and it allows quantitative investigation of the sensitivity of apparent diffusion to the variations of the dominant set of microparameters.
ВВЕДЕНИЕ
Сигнал в диффузионно-взвешенных (ДВ) экспериментах магнитно-резонансной томографии (МРТ) чрезвычайно чувствителен к молекулярной динамике молекул воды в локальной геометрической и физиологической среде. Исследование конкретных механизмов, лежащих в основе изменений сигнала ДВ-МРТ, является интенсивной областью исследований и может привести к новым подходам в создании контрастов ДВ-МРТ, которые специфичны для конкретных процессов дегенерации белого вещества мозга. Однако сложность диффузионного поведения из-за компартментализации, обмена, ограничений и анизотропии, налагаемых клеточной микроструктурой, препятствует установлению количественных соотношений между динамикой и структурой. В последние годы были предприняты большие усилия для интерпретации диффузии в тканях мозга с использованием геометрических моделей [1–3]. В нашей работе метод ренормализационной группы (РГ) [4, 5] расширенной модели Бассера – Сена (БС) [2] был выполнен с учетом возможных различных плотностей упаковки аксонов белого вещества. При этом разнообразные тесселяции были смоделированы с использованием свойств симметрии ячейки Вигнера – Зейтца (ВЗ) [6–9] со случайной вероятностью заполнения.
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
Диффузия в белом веществе мозга моделировалась для поперечного сечения, заполненного бесконечно длинными, параллельными цилиндрами, представляющими миелинизированные аксоны, погруженные во внеклеточную матрицу (рис.1a). Следуя модели БС, мы характеризуем аксоны с помощью Dm (диффузия миелиновой оболочки), Da (диффузия аксонов) и соответствующими плотностями протонов, cm и ca, которые имеют внешний радиус, Rm, и внутренний радиус, Ra. Такая структура погружена во внеклеточное пространство с диффузией De, плотностью протонов ce и линейным размером L. Свойства всех компонентов имеют цветовую кодировку, как на рис.1b. Если предположить, что структура белого вещества может быть объединена в ячейки ВЗ с различными симметриями, например, квадратными (sq, рис.1a) и гексагональными (hex, рис.1a), то можно рассчитать диффузионные свойства, используя модель БС [2]. Два типа ячеек ВЗ могут быть случайным образом распределены по решетке с вероятностью p, что ячейка ВЗ пустая, и (1 – p), что ВЗ занята волокнами. На рис.2a,b черная ячейка ВЗ указывает на присутствие волокна, а наложенная дуальная желтая решетка – на симметрию. Вершины желтой решетки присваиваются случайным ячейкам ВЗ. Рандомизированное заполнение ячеек ВЗ противоположно упорядоченному пространственному распределению волокон, описанному в модели БС [2]. На квадратных и гексагональных решетках со случайно занятыми ячейками можно выделить кластер РГ [4, 5]. Все невырожденные конфигурации черно-белых ячеек ВЗ для такого кластера представлены на рис.3а для квадратной тесселяции и на рис.3b для гексагональной тесселяции. На рис.4a,b процесс перенормировки масштаба изображен для специфического распределения клеток ВЗ. Математически такой процесс РГ может быть описан системой нелинейных уравнений 1. В табл.1 представлены формулы для вероятности rkn и их чисел вырождения для классов перенормировочных групп (рис.3a,b). Эти уравнения содержат уравнение 1a, описывающее процесс РГ для внеклеточной области. Уравнения 1c,d были получены в соответствии с правилами, приведенными в последнем столбце табл.1, и плотностью вероятности (уравнение 1b, где δ(x) – дельта-функция Дирака) [4–9].
РЕЗУЛЬТАТЫ
Мы использовали начальные значения микроскопических параметров X, приведенные в табл.2, для модели БС для оценки нижней (индекс L в обозначениях, черный квадрат или шестиугольник на рис.3a,b) и верхней (индекс в обозначениях U, белый квадрат или шестиугольник на рис.3a,b) границы поперечной диффузии (t индекс в обозначениях). При этом была учтена различная плотность упаковки аксонов. Затем мы оценивали уравнение 1 для различных значений внеклеточной объемной доли p. Во время процесса РГ эффективная диффузия приближается к устойчивой точке DUt, n→∞ = DtL, n→∞ = Dtn→∞, которая зависит от типа тесселяции ткани (рис.5, красный и черный цвета представляют квадратную и гексагональную упаковки). Первый шаг итерации i дает классические результаты из модели БС. Ясно, что как в классических моделях, так и в расширенных моделях плотность упаковки аксонов влияет на эффективную поперечную диффузивность.
На рис.5 для обоих случаев плотности упаковки мы наблюдаем существенные линейные флюктуации в начале итерационного процесса (I), которые достигают точки устойчивости (III) через режим нелинейности (II).
На рис.6 представлена чувствительность S (уравнение 3) величины ADCeff (уравнение 2) к различным изменениям микропараметров X в биологически значимом пределе p ~ 0,2.
Для сравнения мы приводим классические результаты БС. Мы обозначаем X1 как внеклеточную объемную долю, X2 – внеклеточную диффузию, X3 – диффузию миелиновой оболочки, X4 – диффузию аксонов, X5 – средний размер аксонов, X6 – средний размер миелиновой оболочки, X7 – плотность внеклеточных протонов, X8 – плотность протонов миелиновой оболочки, X9 – плотность протонов аксонов.
ОБСУЖДЕНИЕ И ВЫВОДЫ
Используя метод РГ, мы рассчитали чувствительность ADCeff к различным изменениям микропараметров и плотности упаковки аксонов. Мы обнаружили, что ADCeff демонстрирует наибольшую чувствительность к внеклеточной объемной доле и диффузии для всех типов плотности упаковки аксонов. Эти данные указывают на возможный механизм объяснения изменений ADCeff во время прогрессирующего нейродегенеративного заболевания. Также отметим, что ADCeff демонстрирует более нелинейное поведение от p вследствие блокирующих эффектов, которые отсутствуют в упорядоченной модели белого вещества мозга.
ДОПОЛНЕНИЯ
Метод, представленный в данной статье, может быть применен к другим разбиениям в двух- (2D) и трехмерном (3D) Евклидовом пространстве. Результаты для 2D квадратных и 3D кубических разбиений представлены ниже (рис.1Аа). Расчеты для этих случаев следуют процедуре, описанной в секции "Методы". Специфичность результатов заключается в зависимости от различий решеток. Из-за дополнительной размерности 3D-случай характеризуется большим числом конфигураций, что невозможно представить в данной статье таким же способом, как на рис.3. Рис.1Аb демонстрирует сходимость диффузионного коэффициента для различных пространственных размерностей. Мы наблюдаем существенное различие между 2D и 3D для p ~ 0,35. Это может быть объяснено различными перколяционными порогами кластеров в 2D и 3D. Более низкая концентрация генерирует меньшее число самопересечений и ведет к одномерной зигзагообразной цепочке с ветвлениями. Однако вероятность пути соединяющего противоположные стороны ячейки ВЗ достаточно высока, что и объясняет существенное различие в 2D и 3D.
ЛИТЕРАТУРА/REFERENCES
Callaghan P.T. Principles of Nuclear Magnetic Resonance Microscopy (Clarendon Press, Oxford) 1991.
Sen P., Basser P. Biophys.J. 89 (2005) 2927.
Posnansky O., Shah N.J. Biol.Phys. 34 (2008) 551.
Reynolds P.J., Stanley H.E., Klein W. Phys. Rev. B, 21 (1980) 1223.
Posnansky O. Effective diffusion in random composites measured by NMR, Journal of magnetism and magnetic materials 466 (2018) 92.
Crank J. The mathematics of diffusion (Clarendon Press, Oxford) 1955.
Carslow H.S., Jager J.C. Conduction of Heat in Solids (Clarendon Press, Oxford) 1959.
Hashin Z. Theory of composite materials (Pergamon Press, New York).
Latour L.L., Svoboda K., Mitra P.P., Sotak C.H. PNAS, 91 (1994) 1229.
INVESTIGATION OF INFLUENCE OF PACKING DENSITY OF AXONS ON DIFFUSIVITY
О.П.Познанский1, 2, к.ф.-м.н., (ORCID: 0000-0003-3279-0337) / opoznans@gmail.com
O.P.Posnansky1, 2, Cand. of Sc. (Physics and Mathematics) 1, 2
DOI: 10.22184/1993-8578.2020.13.3-4.180.186
Получено: 08.06.2020 г.
Диффузионно-взвешенная МРТ (ДВ-МРТ) чувствительна к архитектуре биологической ткани на микрометровом масштабе. Исследование конкретных механизмов, лежащих в основе изменений в DW-MRI, может привести к введению новых диффузных контрастов, специфичных для конкретных процессов дегенерации белого вещества мозга. Мы разработали метод ренормализационной группы для изучения влияния большого диапазона микропараметров на коэффициент диффузии и применили его к различным видам тесселяций биологической ткани. Наш подход учитывает влияние беспорядка и позволяет количественно исследовать чувствительность коэффициента диффузии к изменениям доминирующего набора микропараметров.
Diffusion-weighted MRI (DW-MRI) is sensitive to biological tissue architecture on a micrometer scale. Determining whether it is possible to infer the specific mechanisms that underlie changes in DW-MRI could lead to new diffusion contrasts specific to particular brain white-matter degeneration processes. We have developed a renormalization group method in order to explore the effects of a large range of microparameters on apparent diffusion and have applied it to different kinds of biological tissue tessellations. Our approach takes the influence of disorder into the consideration and it allows quantitative investigation of the sensitivity of apparent diffusion to the variations of the dominant set of microparameters.
ВВЕДЕНИЕ
Сигнал в диффузионно-взвешенных (ДВ) экспериментах магнитно-резонансной томографии (МРТ) чрезвычайно чувствителен к молекулярной динамике молекул воды в локальной геометрической и физиологической среде. Исследование конкретных механизмов, лежащих в основе изменений сигнала ДВ-МРТ, является интенсивной областью исследований и может привести к новым подходам в создании контрастов ДВ-МРТ, которые специфичны для конкретных процессов дегенерации белого вещества мозга. Однако сложность диффузионного поведения из-за компартментализации, обмена, ограничений и анизотропии, налагаемых клеточной микроструктурой, препятствует установлению количественных соотношений между динамикой и структурой. В последние годы были предприняты большие усилия для интерпретации диффузии в тканях мозга с использованием геометрических моделей [1–3]. В нашей работе метод ренормализационной группы (РГ) [4, 5] расширенной модели Бассера – Сена (БС) [2] был выполнен с учетом возможных различных плотностей упаковки аксонов белого вещества. При этом разнообразные тесселяции были смоделированы с использованием свойств симметрии ячейки Вигнера – Зейтца (ВЗ) [6–9] со случайной вероятностью заполнения.
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
Диффузия в белом веществе мозга моделировалась для поперечного сечения, заполненного бесконечно длинными, параллельными цилиндрами, представляющими миелинизированные аксоны, погруженные во внеклеточную матрицу (рис.1a). Следуя модели БС, мы характеризуем аксоны с помощью Dm (диффузия миелиновой оболочки), Da (диффузия аксонов) и соответствующими плотностями протонов, cm и ca, которые имеют внешний радиус, Rm, и внутренний радиус, Ra. Такая структура погружена во внеклеточное пространство с диффузией De, плотностью протонов ce и линейным размером L. Свойства всех компонентов имеют цветовую кодировку, как на рис.1b. Если предположить, что структура белого вещества может быть объединена в ячейки ВЗ с различными симметриями, например, квадратными (sq, рис.1a) и гексагональными (hex, рис.1a), то можно рассчитать диффузионные свойства, используя модель БС [2]. Два типа ячеек ВЗ могут быть случайным образом распределены по решетке с вероятностью p, что ячейка ВЗ пустая, и (1 – p), что ВЗ занята волокнами. На рис.2a,b черная ячейка ВЗ указывает на присутствие волокна, а наложенная дуальная желтая решетка – на симметрию. Вершины желтой решетки присваиваются случайным ячейкам ВЗ. Рандомизированное заполнение ячеек ВЗ противоположно упорядоченному пространственному распределению волокон, описанному в модели БС [2]. На квадратных и гексагональных решетках со случайно занятыми ячейками можно выделить кластер РГ [4, 5]. Все невырожденные конфигурации черно-белых ячеек ВЗ для такого кластера представлены на рис.3а для квадратной тесселяции и на рис.3b для гексагональной тесселяции. На рис.4a,b процесс перенормировки масштаба изображен для специфического распределения клеток ВЗ. Математически такой процесс РГ может быть описан системой нелинейных уравнений 1. В табл.1 представлены формулы для вероятности rkn и их чисел вырождения для классов перенормировочных групп (рис.3a,b). Эти уравнения содержат уравнение 1a, описывающее процесс РГ для внеклеточной области. Уравнения 1c,d были получены в соответствии с правилами, приведенными в последнем столбце табл.1, и плотностью вероятности (уравнение 1b, где δ(x) – дельта-функция Дирака) [4–9].
РЕЗУЛЬТАТЫ
Мы использовали начальные значения микроскопических параметров X, приведенные в табл.2, для модели БС для оценки нижней (индекс L в обозначениях, черный квадрат или шестиугольник на рис.3a,b) и верхней (индекс в обозначениях U, белый квадрат или шестиугольник на рис.3a,b) границы поперечной диффузии (t индекс в обозначениях). При этом была учтена различная плотность упаковки аксонов. Затем мы оценивали уравнение 1 для различных значений внеклеточной объемной доли p. Во время процесса РГ эффективная диффузия приближается к устойчивой точке DUt, n→∞ = DtL, n→∞ = Dtn→∞, которая зависит от типа тесселяции ткани (рис.5, красный и черный цвета представляют квадратную и гексагональную упаковки). Первый шаг итерации i дает классические результаты из модели БС. Ясно, что как в классических моделях, так и в расширенных моделях плотность упаковки аксонов влияет на эффективную поперечную диффузивность.
На рис.5 для обоих случаев плотности упаковки мы наблюдаем существенные линейные флюктуации в начале итерационного процесса (I), которые достигают точки устойчивости (III) через режим нелинейности (II).
На рис.6 представлена чувствительность S (уравнение 3) величины ADCeff (уравнение 2) к различным изменениям микропараметров X в биологически значимом пределе p ~ 0,2.
Для сравнения мы приводим классические результаты БС. Мы обозначаем X1 как внеклеточную объемную долю, X2 – внеклеточную диффузию, X3 – диффузию миелиновой оболочки, X4 – диффузию аксонов, X5 – средний размер аксонов, X6 – средний размер миелиновой оболочки, X7 – плотность внеклеточных протонов, X8 – плотность протонов миелиновой оболочки, X9 – плотность протонов аксонов.
ОБСУЖДЕНИЕ И ВЫВОДЫ
Используя метод РГ, мы рассчитали чувствительность ADCeff к различным изменениям микропараметров и плотности упаковки аксонов. Мы обнаружили, что ADCeff демонстрирует наибольшую чувствительность к внеклеточной объемной доле и диффузии для всех типов плотности упаковки аксонов. Эти данные указывают на возможный механизм объяснения изменений ADCeff во время прогрессирующего нейродегенеративного заболевания. Также отметим, что ADCeff демонстрирует более нелинейное поведение от p вследствие блокирующих эффектов, которые отсутствуют в упорядоченной модели белого вещества мозга.
ДОПОЛНЕНИЯ
Метод, представленный в данной статье, может быть применен к другим разбиениям в двух- (2D) и трехмерном (3D) Евклидовом пространстве. Результаты для 2D квадратных и 3D кубических разбиений представлены ниже (рис.1Аа). Расчеты для этих случаев следуют процедуре, описанной в секции "Методы". Специфичность результатов заключается в зависимости от различий решеток. Из-за дополнительной размерности 3D-случай характеризуется большим числом конфигураций, что невозможно представить в данной статье таким же способом, как на рис.3. Рис.1Аb демонстрирует сходимость диффузионного коэффициента для различных пространственных размерностей. Мы наблюдаем существенное различие между 2D и 3D для p ~ 0,35. Это может быть объяснено различными перколяционными порогами кластеров в 2D и 3D. Более низкая концентрация генерирует меньшее число самопересечений и ведет к одномерной зигзагообразной цепочке с ветвлениями. Однако вероятность пути соединяющего противоположные стороны ячейки ВЗ достаточно высока, что и объясняет существенное различие в 2D и 3D.
ЛИТЕРАТУРА/REFERENCES
Callaghan P.T. Principles of Nuclear Magnetic Resonance Microscopy (Clarendon Press, Oxford) 1991.
Sen P., Basser P. Biophys.J. 89 (2005) 2927.
Posnansky O., Shah N.J. Biol.Phys. 34 (2008) 551.
Reynolds P.J., Stanley H.E., Klein W. Phys. Rev. B, 21 (1980) 1223.
Posnansky O. Effective diffusion in random composites measured by NMR, Journal of magnetism and magnetic materials 466 (2018) 92.
Crank J. The mathematics of diffusion (Clarendon Press, Oxford) 1955.
Carslow H.S., Jager J.C. Conduction of Heat in Solids (Clarendon Press, Oxford) 1959.
Hashin Z. Theory of composite materials (Pergamon Press, New York).
Latour L.L., Svoboda K., Mitra P.P., Sotak C.H. PNAS, 91 (1994) 1229.
Отзывы читателей
