eng
Выпуск #6/2023
В.Б.Ефимов, А.А.Есина
ФОРМИРОВАНИЕ КВАНТОВЫХ ВИХРЕЙ В СВЕРХТЕКУЧЕМ ГЕЛИИ
ФОРМИРОВАНИЕ КВАНТОВЫХ ВИХРЕЙ В СВЕРХТЕКУЧЕМ ГЕЛИИ
Просмотры: 648
DOI: https://doi.org/10.22184/1993-8578.2023.16.6.384.392
Для формирования квантовых вихрей в сверхтекучем гелии используется несколько методов. В частности, такие вихри можно генерировать при помощи различных колеблющихся тел, погруженных в жидкость. В статье разбираются особенности этих методов, приводятся возможности их применения при исследовании жидкостей, перехода течений в турбулентное состояние и применение таких осцилляторов в технике.
Для формирования квантовых вихрей в сверхтекучем гелии используется несколько методов. В частности, такие вихри можно генерировать при помощи различных колеблющихся тел, погруженных в жидкость. В статье разбираются особенности этих методов, приводятся возможности их применения при исследовании жидкостей, перехода течений в турбулентное состояние и применение таких осцилляторов в технике.
Теги: quantized vortices quartz tuning fork second sound superfluid helium второй звук квантованные вихри кварцевый камертон сверхтекучий гелий
Формирование квантовых вихрей в сверхтекучем гелии
В.Б.Ефимов1, д.ф.-м.н., вед. науч. сотр., ORCID: 0000-0002-9195-2458 / victor_efimov@yahoo.co.uk
А.А.Есина1, мл. науч. сотр., ORCID: 0000-0001-5700-3729
Аннотация. Для формирования квантовых вихрей в сверхтекучем гелии используется несколько методов. В частности, такие вихри можно генерировать при помощи различных колеблющихся тел, погруженных в жидкость. В статье разбираются особенности этих методов, приводятся возможности их применения при исследовании жидкостей, перехода течений в турбулентное состояние и применение таких осцилляторов в технике.
Ключевые слова: сверхтекучий гелий, второй звук, квантованные вихри, кварцевый камертон
Для цитирования: В.Б. Ефимов, А.А. Есина. Формирование квантовых вихрей в сверхтекучем гелии. НАНОИНДУСТРИЯ. 2023. Т. 16, № 6. С. 384–392. https://doi.org/10.22184/1993-8578.2023.16.6.384.392
Received: 2.10.2023 | Accepted: 5.10.2023 | DOI: https://doi.org/10.22184/1993-8578.2023.16.6.384.392
ВВЕДЕНИЕ
Изучение турбулентных явлений, особенности распространения нелинейных волн, образование вихревых течений при их взаимодействии, особенно применительно к прикладным задачам, является одной из наиболее исследуемых проблем современной физики. Турбулентные явления могут быть как вихревого характера, так и безвихревого. Вихревые явления приводят к образованию таких структур, как циклоны и антициклоны в атмосфере Земли и других планет, торнадо и смерчи, водовороты. Безвихревое проявление турбулентных явлений обычно определяется взаимодействием нелинейных волн, из-за чего, в частности, на водной поверхности могут образовываться волны аномально большой высоты, называемые "волнами-убийцами" (freak waves).
Одними из вопросов, возникающих при изучении турбулентных явлений, являются вопрос о переносе энергии по энергетическому спектру из области накачки в диссипативную область, а также о возможностях и способах воздействия на такие потоки энергии для различных видов турбулентности. Однако, турбулентные явления, в отличие от ламинарных течений, очень трудно поддаются теоретическому описанию. Реальные турбулентные течения подвержены большому количеству случайных воздействий, хотя для экспериментальной проверки теоретических выводов или для феноменологических заключений стараются проводить измерения в контролируемых и воспроизводимых условиях. Сверхтекучий гелий является одной из сред, позволяющей достаточно просто проводить эксперименты в одинаковых условиях. 4Не можно очищать до невероятно низкой концентрации примесей, в том числе от изотопа 3Не. Все остальные примеси не растворяются в жидком гелии и вымерзают при более высоких температурах. Кроме того, сверхтекучий гелий обладает рядом уникальных свойств. Вязкость жидкого и сверхтекучего гелия на два порядка ниже вязкости воды, что уменьшает параметр экспериментальной системы L·v, где L – характерный размер системы, v – скорость течения жидкости. Вращательное движение потока жидкости формирует вихри, для которых в гелии при температурах ниже Tλ течение сверхтекучей компоненты жидкости по любой траектории вокруг кора вихря подчиняется законам квантования, что существенно упрощает описание ансамбля квантовых вихрей:
, (1)
где h – постоянная Планка, m – масса атома гелия и n – целое число.
Еще одним уникальным свойством сверхтекучего гелия является возможность распространения в нем сильно нелинейных слабозатухающих тепловых волн – волн второго звука. Коэффициент нелинейности этих волн α2 меняется от –∞ при Tλ до большой положительной величины при более низких температурах, проходя через 0 при Т = 1,88 К. Таким образом, любая гармоническая волна второго звука, распространяющаяся в сверхтекучем гелии, искажается согласно соотношению:
, (2)
где δT – амплитуда волны, и формирует целый каскад кратных гармоник, что отвечает передаче энергии в более высокий частотный диапазон – передача энергии, соответствующая колмогоровскому инерционному механизму. Такую передачу энергии (называемой акустической турбулентностью) в резонаторе волн второго звука, а также процессы формирования, существования и распадов таких каскадов, уже наблюдали ранее [1].
Так как поток сверхтекучей компоненты вихрей достаточно эффективно рассеивает волны второго звука, то затухание этих волн может быть использовано как средство для регистрации перехода системы в турбулентное состояние. С другой стороны, введение вихрей в распространяющиеся нелинейные волны второго звука можно использовать как диссипативный элемент, влияющий на процесс акустической турбулентности.
Целью данной работы было найти способ влияния на процессы передачи энергии при акустической турбулентности через контролируемое введение в объем резонатора квантовых вихрей осцилляторами, а также оценка количества вихрей, генерируемых вокруг колеблющихся осцилляторов.
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
В качестве генератора вихрей мы использовали кварцевые камертоны. Такие или подобные осцилляторы используются как стандарты частоты для ручных электронных часов. Калибровка кварцевых камертонов производится по электрическому отклику, соответствующему их механическим колебаниям (ток через осциллятор при приложении переменного напряжения в резонансе). Электромеханический коэффициент a определяется из измеренной полуширины резонанса осциллятора Δω в идеальных условиях (в вакууме):
, (3)
где M – масса ножек камертона и R – электрическое сопротивление системы в резонансе. Зная a, можно определить скорость движения ножек кварцевого камертона из тока зарядки I электродов камертона, а из напряжения переменного тока на осцилляторе U0 – силу изгиба ножек камертона, соответствующую силе сопротивления среды [2]:
, (4)
. (5)
Проверку соответствия расчетной величины скорости движения ножек камертона их реальной величине мы провели ранее с помощью интерферометра Майкельсона. Результаты такого измерения показали хорошее соответствие расчетных и измеренных величин максимальной скорости движения ножек камертона [3].
В процессе увеличения амплитуды колебаний передача возбуждений в окружающую среду имеет два резко различных режима. При малых амплитудах колебаний обтекание жидкостью или газом колеблющихся ножек камертона ламинарное, сила сопротивления которого пропорциональна скорости движения и плотности увлекаемой осциллятором среды. Электромеханическое соотношения для движения такого камертона приведены на рис.1а. Резонансная частота при этом определится как:
, (6)
или для небольших добавок массы по сравнению с массой колеблющегося тела [4]:
. (7)
Результаты проведенных в разных средах измерений на одном из кварцевых камертонов приведены на рис.1b. Особенностью данного камертона было то, что при его изготовлении было выбрано направление кристаллических осей, позволяющее ножкам совершать колебания наряду с изгибными модами (fB ≈ 76 кГц) также и торсионные колебания (fT ≈ 363 кГц). Из графика видна хорошая корреляция между плотностью среды и уменьшением резонансной частоты камертона при ламинарном обтекании. Двухмодовые камертоны позволяют одной модой возмущать окружающую среду и регистрировать отклик (в том числе фиксировать формирование турбулентного состояния) другой модой.
Увеличение амплитуды колебаний выше критического значения приводит к рождению квантованных вихрей. При этом, как и для любого турбулентного движения, сила сопротивления среды пропорциональна скорости движения в квадрате:
, (8)
где CD – коэффициент сопротивления, AS – поперечное сечение движущегося тела.
Результаты измерений показали, что переход к турбулентному рождению вихрей происходит для кварцевых камертонов при скоростях движения в несколько десятков см/с, в зависимости от размеров камертонов и их резонансных частот. На рис.2 приведены результаты измерений для камертона с резонансной частотой f = 8 кГц в вакууме при комнатной температуре и температуре жидкого гелия, а также в жидком гелии при разных температурах.
Из графиков хорошо видно, что уменьшение температуры гелия и последующий переход гелия в сверхтекучее состояние приводит к уменьшению силы сопротивления в ламинарном течении (сплошная красная линия на графике), что коррелирует с уменьшением концентрации возбуждений в гелии (экспоненциальное вымерзание ротонов) и, соответственно, динамической вязкости. Таким образом, в этих экспериментах мы определили характерные скорости перехода движения кварцевых камертонов в турбулентный режим, что позволяет задавать режимы введения диссипативной компоненты в объем сверхтекучего гелия.
ОБСУЖДЕНИЕ
В экспериментах была определена принципиальная возможность для введения вихрей осциллирующими кварцевыми камертонами в пространство частотной передачи энергии при акустической турбулентности волн второго звука. Попробуем определить темп роста числа вихрей, генерируемых в объеме гелия при колебании таких осцилляторов. Суммарная энергия, передаваемая в вихревую систему колеблющимся телом, будет определяться механической или электрической мощностью потерь сил, вызывающих колебания осциллятора. Не трудно видеть, что произведение тока зарядки пластин камертона на напряжение переменного сигнала, возбуждающее эти колебания, равно произведению рассчитанной силы на рассчитанную скорость движения ножек камертона.
Далее можно определить максимальную амплитуду колебания камертона и определить суммарную энергию, передаваемую в среду при одном периоде колебаний:
. (9)
При этом нужно учитывать то, что при малых амплитудах колебаний (и малых скоростях движения) обтекание ламинарное и лишь превышение предельных величин скорости vcr приводит к рождению вихрей. Вычитание ламинарного движения из общей зависимости F(v) приведено на рис.3. Возрастание силы сопротивления движению осциллятора при переходе к турбулентному вихреобразованию близко к квадратичной зависимости, при этом vcr составляет величину порядка 10–15 см/с. Для результатов, представленных на рис.3, при скорости движения ножек камертона в 30 см/с амплитуда колебаний камертона 4 кГц составляет 12 мкм, максимальная сила – 4,2 · 10–6 Н; для камертона в 32 кГц – 1,5 мкм и 3 · 10–7 Н соответственно. Энергия, передаваемая в вихревую систему камертоном 4 кГц за один период колебаний, будет определяться интегралом под кривой, обозначенной на графике в виде пунктирной линии, и он будет ~ 10–10 Дж. Для 32 кГц энергия будет ~ 10–12 Дж.
Для оценки плотности создаваемых вихрей нужно учесть энергию рождения единицы длины вихря. Основная энергия квантового вихря определяется из кинетической энергии движущейся сверхтекучей жидкости, обусловленной законами квантования:
, (10)
где интегрирование ограничивается либо размерами сосуда для единичного вихря, либо расстоянием до ближайших соседних вихрей. Оценивая n = 1 (вихрям энергетически выгодно принимать минимально возможное n, в 4Не устойчивым является вихрь с одним квантом циркуляции n = ±1), ln(l/rc) ~ 10 (что вполне разумно при достаточно плотной упаковке вихрей), ρs = 0,147 г/см3, получаем энергию на единицу длины вихревой нити .
Для означенных выше энергий получается, что за одно колебание в вихревая система увеличивается на 108 мкм при амплитуде колебаний в 12 мкм для 4 кГц камертона и 106 мкм при амплитуде колебаний в 1,5 мкм для 32 кГц. Таким образом мы видим, что длина вихревой системы при единичном колебании осциллятора увеличивается на много порядков больше, чем простое удлинение единичного вихря – то есть процесс рождения турбулентного потока вихрей является коллективным, в котором участвует много запиннингованных вихрей одновременно. Попробуем оценить плотность формируемого вихревого пространства вокруг осциллятора.
Скорость движения вихревого кольца радиуса R0 при нулевой температуре дается выражением [5]:
, (11)
где κ = h/m4He = 9,998 · 10–8 м2/с – квант циркуляции. Не трудно видеть, что скорость движения кольца тем меньше, чем больше его радиус. Для вихревого кольца радиуса 1 мкм скорость вихря имеет порядок v0 = 8 см/с, для 10 мкм – v0 = 1 см/с, для вихря с радиусом в 100 мкм – v0 = 1,2 мм/с.
При не нулевой температуре сверхтекучего гелия движущееся вихревое кольцо уменьшает свой размер из-за взаимного трения нормальной и сверхтекучей компонент. Скорость изменения радиуса вихревого кольца определится как [5]:
. (12)
Время существования вихря можно оценить, как:
, (13)
где α – коэффициент взаимного трения между нормальной и сверхтекучей компонентами сверхтекучего гелия. Дальность полета кольца до его исчезновения определится как [6]:
.
С учетом малости радиуса кора вихря по сравнению с радиусом вихря получим окончательно. Поэтому при достаточно сильных диссипативных процессах в сверхтекучем гелии детектирование вихрей на расстоянии D возможно только для вихрей с размерами больше R0, определяемыми соотношением 2R0 > 2αD. Можно предположить, что радиус вихревого кольца порядка амплитуды колебания камертона или ≈ 10–20 мкм для камертона с f = 4 кГц камертона и порядка нескольких мкм для f = 32 кГц. Из оценок работы [7] при Т = 1,2 K вихри с диаметром в 18 мкм перемещаются на расстояния в 0,5 мм за время порядка τ ≈ 40 мс. При Т = 1,6 К такой же вихрь пройдет расстояние ≈ 0,3 мм за такое же время. С учетом темпа наполнения объема вблизи осциллятора за τ/2 ≈ 20 мс общая длина вихрей составит 106 см. Это позволяет оценить среднее количество вихрей в пространстве вблизи такого осциллятора с площадью колеблющихся плоскостей ~1 см2 в n ~ 107 см–2, на расстоянии ≈ 1 мм от осциллятора, что должно создавать достаточный диссипативный вклад в акустическую турбулентность. Для маленького кварцевого камертона f = 32 кГц с площадью ~ 1 мм2 для амплитуды колебаний в несколько мкм скорость движения вихревого кольца будет на порядок больше и время его жизни порядка 1 мс. Суммарная длина вихрей при таком времени составит 3 · 103 см и средняя плотность вихрей вблизи осциллятора на глубину в 0.1 мм (расстояние, на котором вихревые кольца с радиусом в 1 мкм исчезают) составит те же n ~ 107 см–2.
ВЫВОДЫ
В работе мы экспериментально определили скорость перекачки энергии от кварцевых камертонов разных размеров и разных резонансных частот в вихревую систему, оценили возможную плотность вихрей для таких процессов и показали применимость таких осцилляторов для создания достаточных диссипативных процессов для дальнейшего изучения процессов передачи энергии при акустической турбулентности. Работа была поддержана грантом РНФ №22-22-00718.
ИНФОРМАЦИЯ О РЕЦЕНЗИРОВАНИИ
Редакция благодарит анонимного рецензента (рецензентов) за их вклад в рецензирование этой работы, а также за размещение статей на сайте журнала и передачу их в электронном виде в НЭБ eLIBRARY.RU.
Декларация о конфликте интересов. Авторы заявляют об отсутствии конфликтов интересов или личных отношений, которые могли бы повлиять на работу, представленную в данной статье.
ЛИТЕРАТУРА / REFERENCES
Ефимов В.Б. УФН, 2018. Т. 188. № 10. С. 1025–1048.
Blaauwgeers R. et al. J. of Low Temp. Phys., 2007. Vol. 146, no. 5–6. P. 537.
Efimov V.B. et al. J. of Low Temp. Phys., 2010. Vol. 158, no. 3–4. P. 456–461.
Riesch C. et al. Proceedings of the GMe Workshop, 2006. Vol. 127.
Donnelly R.J. Quantized Vortices in Helium II. Cambridge University Press, Cambridge, 1991.
Bradley D.I. et al. J. of Low Temp. Phys. Vol. 138. P. 493.
Nago Y. et al. J. of Low Temp. Phys. 2011. Vol. 162. P. 322.
В.Б.Ефимов1, д.ф.-м.н., вед. науч. сотр., ORCID: 0000-0002-9195-2458 / victor_efimov@yahoo.co.uk
А.А.Есина1, мл. науч. сотр., ORCID: 0000-0001-5700-3729
Аннотация. Для формирования квантовых вихрей в сверхтекучем гелии используется несколько методов. В частности, такие вихри можно генерировать при помощи различных колеблющихся тел, погруженных в жидкость. В статье разбираются особенности этих методов, приводятся возможности их применения при исследовании жидкостей, перехода течений в турбулентное состояние и применение таких осцилляторов в технике.
Ключевые слова: сверхтекучий гелий, второй звук, квантованные вихри, кварцевый камертон
Для цитирования: В.Б. Ефимов, А.А. Есина. Формирование квантовых вихрей в сверхтекучем гелии. НАНОИНДУСТРИЯ. 2023. Т. 16, № 6. С. 384–392. https://doi.org/10.22184/1993-8578.2023.16.6.384.392
Received: 2.10.2023 | Accepted: 5.10.2023 | DOI: https://doi.org/10.22184/1993-8578.2023.16.6.384.392
ВВЕДЕНИЕ
Изучение турбулентных явлений, особенности распространения нелинейных волн, образование вихревых течений при их взаимодействии, особенно применительно к прикладным задачам, является одной из наиболее исследуемых проблем современной физики. Турбулентные явления могут быть как вихревого характера, так и безвихревого. Вихревые явления приводят к образованию таких структур, как циклоны и антициклоны в атмосфере Земли и других планет, торнадо и смерчи, водовороты. Безвихревое проявление турбулентных явлений обычно определяется взаимодействием нелинейных волн, из-за чего, в частности, на водной поверхности могут образовываться волны аномально большой высоты, называемые "волнами-убийцами" (freak waves).
Одними из вопросов, возникающих при изучении турбулентных явлений, являются вопрос о переносе энергии по энергетическому спектру из области накачки в диссипативную область, а также о возможностях и способах воздействия на такие потоки энергии для различных видов турбулентности. Однако, турбулентные явления, в отличие от ламинарных течений, очень трудно поддаются теоретическому описанию. Реальные турбулентные течения подвержены большому количеству случайных воздействий, хотя для экспериментальной проверки теоретических выводов или для феноменологических заключений стараются проводить измерения в контролируемых и воспроизводимых условиях. Сверхтекучий гелий является одной из сред, позволяющей достаточно просто проводить эксперименты в одинаковых условиях. 4Не можно очищать до невероятно низкой концентрации примесей, в том числе от изотопа 3Не. Все остальные примеси не растворяются в жидком гелии и вымерзают при более высоких температурах. Кроме того, сверхтекучий гелий обладает рядом уникальных свойств. Вязкость жидкого и сверхтекучего гелия на два порядка ниже вязкости воды, что уменьшает параметр экспериментальной системы L·v, где L – характерный размер системы, v – скорость течения жидкости. Вращательное движение потока жидкости формирует вихри, для которых в гелии при температурах ниже Tλ течение сверхтекучей компоненты жидкости по любой траектории вокруг кора вихря подчиняется законам квантования, что существенно упрощает описание ансамбля квантовых вихрей:
, (1)
где h – постоянная Планка, m – масса атома гелия и n – целое число.
Еще одним уникальным свойством сверхтекучего гелия является возможность распространения в нем сильно нелинейных слабозатухающих тепловых волн – волн второго звука. Коэффициент нелинейности этих волн α2 меняется от –∞ при Tλ до большой положительной величины при более низких температурах, проходя через 0 при Т = 1,88 К. Таким образом, любая гармоническая волна второго звука, распространяющаяся в сверхтекучем гелии, искажается согласно соотношению:
, (2)
где δT – амплитуда волны, и формирует целый каскад кратных гармоник, что отвечает передаче энергии в более высокий частотный диапазон – передача энергии, соответствующая колмогоровскому инерционному механизму. Такую передачу энергии (называемой акустической турбулентностью) в резонаторе волн второго звука, а также процессы формирования, существования и распадов таких каскадов, уже наблюдали ранее [1].
Так как поток сверхтекучей компоненты вихрей достаточно эффективно рассеивает волны второго звука, то затухание этих волн может быть использовано как средство для регистрации перехода системы в турбулентное состояние. С другой стороны, введение вихрей в распространяющиеся нелинейные волны второго звука можно использовать как диссипативный элемент, влияющий на процесс акустической турбулентности.
Целью данной работы было найти способ влияния на процессы передачи энергии при акустической турбулентности через контролируемое введение в объем резонатора квантовых вихрей осцилляторами, а также оценка количества вихрей, генерируемых вокруг колеблющихся осцилляторов.
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
В качестве генератора вихрей мы использовали кварцевые камертоны. Такие или подобные осцилляторы используются как стандарты частоты для ручных электронных часов. Калибровка кварцевых камертонов производится по электрическому отклику, соответствующему их механическим колебаниям (ток через осциллятор при приложении переменного напряжения в резонансе). Электромеханический коэффициент a определяется из измеренной полуширины резонанса осциллятора Δω в идеальных условиях (в вакууме):
, (3)
где M – масса ножек камертона и R – электрическое сопротивление системы в резонансе. Зная a, можно определить скорость движения ножек кварцевого камертона из тока зарядки I электродов камертона, а из напряжения переменного тока на осцилляторе U0 – силу изгиба ножек камертона, соответствующую силе сопротивления среды [2]:
, (4)
. (5)
Проверку соответствия расчетной величины скорости движения ножек камертона их реальной величине мы провели ранее с помощью интерферометра Майкельсона. Результаты такого измерения показали хорошее соответствие расчетных и измеренных величин максимальной скорости движения ножек камертона [3].
В процессе увеличения амплитуды колебаний передача возбуждений в окружающую среду имеет два резко различных режима. При малых амплитудах колебаний обтекание жидкостью или газом колеблющихся ножек камертона ламинарное, сила сопротивления которого пропорциональна скорости движения и плотности увлекаемой осциллятором среды. Электромеханическое соотношения для движения такого камертона приведены на рис.1а. Резонансная частота при этом определится как:
, (6)
или для небольших добавок массы по сравнению с массой колеблющегося тела [4]:
. (7)
Результаты проведенных в разных средах измерений на одном из кварцевых камертонов приведены на рис.1b. Особенностью данного камертона было то, что при его изготовлении было выбрано направление кристаллических осей, позволяющее ножкам совершать колебания наряду с изгибными модами (fB ≈ 76 кГц) также и торсионные колебания (fT ≈ 363 кГц). Из графика видна хорошая корреляция между плотностью среды и уменьшением резонансной частоты камертона при ламинарном обтекании. Двухмодовые камертоны позволяют одной модой возмущать окружающую среду и регистрировать отклик (в том числе фиксировать формирование турбулентного состояния) другой модой.
Увеличение амплитуды колебаний выше критического значения приводит к рождению квантованных вихрей. При этом, как и для любого турбулентного движения, сила сопротивления среды пропорциональна скорости движения в квадрате:
, (8)
где CD – коэффициент сопротивления, AS – поперечное сечение движущегося тела.
Результаты измерений показали, что переход к турбулентному рождению вихрей происходит для кварцевых камертонов при скоростях движения в несколько десятков см/с, в зависимости от размеров камертонов и их резонансных частот. На рис.2 приведены результаты измерений для камертона с резонансной частотой f = 8 кГц в вакууме при комнатной температуре и температуре жидкого гелия, а также в жидком гелии при разных температурах.
Из графиков хорошо видно, что уменьшение температуры гелия и последующий переход гелия в сверхтекучее состояние приводит к уменьшению силы сопротивления в ламинарном течении (сплошная красная линия на графике), что коррелирует с уменьшением концентрации возбуждений в гелии (экспоненциальное вымерзание ротонов) и, соответственно, динамической вязкости. Таким образом, в этих экспериментах мы определили характерные скорости перехода движения кварцевых камертонов в турбулентный режим, что позволяет задавать режимы введения диссипативной компоненты в объем сверхтекучего гелия.
ОБСУЖДЕНИЕ
В экспериментах была определена принципиальная возможность для введения вихрей осциллирующими кварцевыми камертонами в пространство частотной передачи энергии при акустической турбулентности волн второго звука. Попробуем определить темп роста числа вихрей, генерируемых в объеме гелия при колебании таких осцилляторов. Суммарная энергия, передаваемая в вихревую систему колеблющимся телом, будет определяться механической или электрической мощностью потерь сил, вызывающих колебания осциллятора. Не трудно видеть, что произведение тока зарядки пластин камертона на напряжение переменного сигнала, возбуждающее эти колебания, равно произведению рассчитанной силы на рассчитанную скорость движения ножек камертона.
Далее можно определить максимальную амплитуду колебания камертона и определить суммарную энергию, передаваемую в среду при одном периоде колебаний:
. (9)
При этом нужно учитывать то, что при малых амплитудах колебаний (и малых скоростях движения) обтекание ламинарное и лишь превышение предельных величин скорости vcr приводит к рождению вихрей. Вычитание ламинарного движения из общей зависимости F(v) приведено на рис.3. Возрастание силы сопротивления движению осциллятора при переходе к турбулентному вихреобразованию близко к квадратичной зависимости, при этом vcr составляет величину порядка 10–15 см/с. Для результатов, представленных на рис.3, при скорости движения ножек камертона в 30 см/с амплитуда колебаний камертона 4 кГц составляет 12 мкм, максимальная сила – 4,2 · 10–6 Н; для камертона в 32 кГц – 1,5 мкм и 3 · 10–7 Н соответственно. Энергия, передаваемая в вихревую систему камертоном 4 кГц за один период колебаний, будет определяться интегралом под кривой, обозначенной на графике в виде пунктирной линии, и он будет ~ 10–10 Дж. Для 32 кГц энергия будет ~ 10–12 Дж.
Для оценки плотности создаваемых вихрей нужно учесть энергию рождения единицы длины вихря. Основная энергия квантового вихря определяется из кинетической энергии движущейся сверхтекучей жидкости, обусловленной законами квантования:
, (10)
где интегрирование ограничивается либо размерами сосуда для единичного вихря, либо расстоянием до ближайших соседних вихрей. Оценивая n = 1 (вихрям энергетически выгодно принимать минимально возможное n, в 4Не устойчивым является вихрь с одним квантом циркуляции n = ±1), ln(l/rc) ~ 10 (что вполне разумно при достаточно плотной упаковке вихрей), ρs = 0,147 г/см3, получаем энергию на единицу длины вихревой нити .
Для означенных выше энергий получается, что за одно колебание в вихревая система увеличивается на 108 мкм при амплитуде колебаний в 12 мкм для 4 кГц камертона и 106 мкм при амплитуде колебаний в 1,5 мкм для 32 кГц. Таким образом мы видим, что длина вихревой системы при единичном колебании осциллятора увеличивается на много порядков больше, чем простое удлинение единичного вихря – то есть процесс рождения турбулентного потока вихрей является коллективным, в котором участвует много запиннингованных вихрей одновременно. Попробуем оценить плотность формируемого вихревого пространства вокруг осциллятора.
Скорость движения вихревого кольца радиуса R0 при нулевой температуре дается выражением [5]:
, (11)
где κ = h/m4He = 9,998 · 10–8 м2/с – квант циркуляции. Не трудно видеть, что скорость движения кольца тем меньше, чем больше его радиус. Для вихревого кольца радиуса 1 мкм скорость вихря имеет порядок v0 = 8 см/с, для 10 мкм – v0 = 1 см/с, для вихря с радиусом в 100 мкм – v0 = 1,2 мм/с.
При не нулевой температуре сверхтекучего гелия движущееся вихревое кольцо уменьшает свой размер из-за взаимного трения нормальной и сверхтекучей компонент. Скорость изменения радиуса вихревого кольца определится как [5]:
. (12)
Время существования вихря можно оценить, как:
, (13)
где α – коэффициент взаимного трения между нормальной и сверхтекучей компонентами сверхтекучего гелия. Дальность полета кольца до его исчезновения определится как [6]:
.
С учетом малости радиуса кора вихря по сравнению с радиусом вихря получим окончательно. Поэтому при достаточно сильных диссипативных процессах в сверхтекучем гелии детектирование вихрей на расстоянии D возможно только для вихрей с размерами больше R0, определяемыми соотношением 2R0 > 2αD. Можно предположить, что радиус вихревого кольца порядка амплитуды колебания камертона или ≈ 10–20 мкм для камертона с f = 4 кГц камертона и порядка нескольких мкм для f = 32 кГц. Из оценок работы [7] при Т = 1,2 K вихри с диаметром в 18 мкм перемещаются на расстояния в 0,5 мм за время порядка τ ≈ 40 мс. При Т = 1,6 К такой же вихрь пройдет расстояние ≈ 0,3 мм за такое же время. С учетом темпа наполнения объема вблизи осциллятора за τ/2 ≈ 20 мс общая длина вихрей составит 106 см. Это позволяет оценить среднее количество вихрей в пространстве вблизи такого осциллятора с площадью колеблющихся плоскостей ~1 см2 в n ~ 107 см–2, на расстоянии ≈ 1 мм от осциллятора, что должно создавать достаточный диссипативный вклад в акустическую турбулентность. Для маленького кварцевого камертона f = 32 кГц с площадью ~ 1 мм2 для амплитуды колебаний в несколько мкм скорость движения вихревого кольца будет на порядок больше и время его жизни порядка 1 мс. Суммарная длина вихрей при таком времени составит 3 · 103 см и средняя плотность вихрей вблизи осциллятора на глубину в 0.1 мм (расстояние, на котором вихревые кольца с радиусом в 1 мкм исчезают) составит те же n ~ 107 см–2.
ВЫВОДЫ
В работе мы экспериментально определили скорость перекачки энергии от кварцевых камертонов разных размеров и разных резонансных частот в вихревую систему, оценили возможную плотность вихрей для таких процессов и показали применимость таких осцилляторов для создания достаточных диссипативных процессов для дальнейшего изучения процессов передачи энергии при акустической турбулентности. Работа была поддержана грантом РНФ №22-22-00718.
ИНФОРМАЦИЯ О РЕЦЕНЗИРОВАНИИ
Редакция благодарит анонимного рецензента (рецензентов) за их вклад в рецензирование этой работы, а также за размещение статей на сайте журнала и передачу их в электронном виде в НЭБ eLIBRARY.RU.
Декларация о конфликте интересов. Авторы заявляют об отсутствии конфликтов интересов или личных отношений, которые могли бы повлиять на работу, представленную в данной статье.
ЛИТЕРАТУРА / REFERENCES
Ефимов В.Б. УФН, 2018. Т. 188. № 10. С. 1025–1048.
Blaauwgeers R. et al. J. of Low Temp. Phys., 2007. Vol. 146, no. 5–6. P. 537.
Efimov V.B. et al. J. of Low Temp. Phys., 2010. Vol. 158, no. 3–4. P. 456–461.
Riesch C. et al. Proceedings of the GMe Workshop, 2006. Vol. 127.
Donnelly R.J. Quantized Vortices in Helium II. Cambridge University Press, Cambridge, 1991.
Bradley D.I. et al. J. of Low Temp. Phys. Vol. 138. P. 493.
Nago Y. et al. J. of Low Temp. Phys. 2011. Vol. 162. P. 322.
Отзывы читателей
